[ 그래프 ] 벨만-포드(Bellman-Ford, 백준 11657)

 벨만-포드

그래프에서 최단 거리를 구하는 알고리즘

• 특정 출발 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로 탐색 - 다익스트라와 같음
• 음수 가중치 에지가 있어도 수행이 가능하다.
• 전체 그래프에서 음수 사이클의 존재 여부를 판단할 수 있음
• 시간복잡도는 O(VE)

 

💡  벨만-포드 알고리즘의 핵심 이론

1. 에지리스트로 그래프를 구현하고 최단 경로 리스트 초기화하기

* 에지리스트는 일반적으로 노드 변수 2개(start, end)와 가중치 변수로 구성되어있다.

 

 

2. 모든 에지를 확인해 정답 리스트 업데이트하기

최단 거리 리스트에서 업데이트 반복 횟수는 노드-1 개이다.

음수 사이클이 없을 때 특정 두 노드의 최단 거리를 구성할 수 있는 에지의 최대 개수는 N-1이기 때문이다.

 

모든 에지 E = (s, e, w)에서 다음 조건을 만족하면 업데이트를 실행한다.

D[s] != ∞ 이며 D[e] > D[s] + w 일 때 D[e] = D[s] + w로 리스트의 값을 업데이트한다.
여기서 업데이트 횟수가 해당 노드로 갈 때 에지 횟수

 

3. 음수 사이클 유무 확인하기

N-1번 업데이트하면 모든 값이 최단거리로 나와야한다.

만약 한번 더 해서 N번째 업데이트 할 때 값이 업데이트되는 노드가 있다면 해당 그래프는 음수 사이클이 있다는 뜻이다.

 

 

 

☝🏻  벨만-포드 알고리즘은 최단거리를 구할 때 N-1만큼 업데이트해서 구한다.
음수 사이클 여부를 구하려면 N-1번에서 1번 더. 즉, N번째 업데이트를 시도해서 업데이트 되는 노드가 있으면 음수 사이클이 있다는 뜻이다.

 

 

 11657 : 타임머신

문제

N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.

1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 500), 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 6,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 M개의 줄에는 버스 노선의 정보 A, B, C (1 ≤ A, B ≤ N, -10,000 ≤ C ≤ 10,000)가 주어진다. 

 

출력

만약 1번 도시에서 출발해 어떤 도시로 가는 과정에서 시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있다면 첫째 줄에 -1을 출력한다. 그렇지 않다면 N-1개 줄에 걸쳐 각 줄에 1번 도시에서 출발해 2번 도시, 3번 도시, ..., N번 도시로 가는 가장 빠른 시간을 순서대로 출력한다. 만약 해당 도시로 가는 경로가 없다면 대신 -1을 출력한다.

입력	출력
3 4 1 2 4 1 3 3 2 3 -1 3 1 -2	4 3
3 4 1 2 4 1 3 3 2 3 -4 3 1 -2	-1
3 2 1 2 4 1 2 3	3 -1

 

문제 풀이

• 벨만-포드 원리 그대로 적용해서 시작도시, 도착도시, 걸리는 시간으로 에지리스트를 만든다
  
  
• 만약 N번째 업데이트에서 갱신값이 원래 배열 값보다 작은 값이 나오면 사이클 발생 -> "-1"출력
  
  
• 사이클은 없고 배열 값이 만약 Integer.MaxValue이면 해당 경로로 가는 노선은 없는 것 -> 해당 줄에 "-1"출력
  
  
• 그리고 아니 계속 출력초과떠서 .......자료형 long으로 바꿔주면 되는 문제엿삼요. -> 이것만 틀린게 어디야.....
  
  
• N = 500, M = 6000 인 경우 최대 300만번의 반복문을 돌게 된다. 이때 음의 간선이 -10,000 이라면 약 -300억의 값으로 underflow가 발생하게 되어 출력초과가 나오는 경우가 발생한다. 때문에 거리배열의 자료형을 long으로 선언해야 했다.
  출처: https://zangzangs.tistory.com/82 [장장스:티스토리]

 

실행 코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class P11657 {
    static long[] city;
    static long[][] edgelist;
    static int N, M;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        N = Integer.parseInt(st.nextToken()); // 도시의 갯수
        M = Integer.parseInt(st.nextToken()); // 버스 노선의 갯수
        city = new long[N + 1]; //1번에서 해당 도시로 가는 최단거리
        edgelist = new long[M][3]; //에지리스트

        Arrays.fill(city, Integer.MAX_VALUE);
        city[1] = 0;

        // 버스 노선 정보
        for(int i = 0; i < M; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            edgelist[i][0] = Integer.parseInt(st.nextToken()); //시작 도시
            edgelist[i][1] = Integer.parseInt(st.nextToken()); //도착 도시
            edgelist[i][2] = Integer.parseInt(st.nextToken()); //걸리는 시간
        }

        if(BellmanFord()) System.out.println("-1");
        else{
            for(int i = 2; i <= N; i++) { //시작 도시는 빼고 출력
                if(city[i] == Integer.MAX_VALUE) System.out.println("-1");
                else System.out.println(city[i]);
            }
        }

    }

    private static boolean BellmanFord() {
        //N-1만큼 반복
        for(int i = 1;i < N;i++){
            for(int j = 0; j < M; j++) {
                long s = edgelist[j][0]; //노선도의 시작 도시
                long e = edgelist[j][1]; //노선도의 도착도시
                long t = edgelist[j][2]; //노선도 걸리는 시간
                // 시작도시의 가중치가 무한이 아니고 갱신된 값이 더 작을 경우
                if(city[(int) s] != Integer.MAX_VALUE && city[(int) s] + t < city[(int) e]){
                    city[(int) e] = city[(int) s] + t;
                }
            }
        }

        //N번째 반복 여기서 업데이트가 일어나면 음수 사이클 발생
        for(int j = 0; j < M; j++) {
            long s = edgelist[j][0]; //노선도의 시작 도시
            long e = edgelist[j][1]; //노선도의 도착도시
            long t = edgelist[j][2]; //노선도 걸리는 시간
            // 시작도시의 가중치가 무한이 아닐 경우
            if (city[(int) s] != Integer.MAX_VALUE && city[(int) s] + t < city[(int) e]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}